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수학

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라플라스 전개방법(Laplace expansion) - 고계행렬식 계산법 이전에 2계행렬식과 3계행렬식의 계산 방법을 알아보았지만, 그 방법으로는 4계 이상의 행렬식에는 적용될 수가 없다. 그렇기 때문에 더 높은 차원의 행렬의 행렬식을 구하기 위해서는 라플라스 전개방법(Laplace expansion)을 이용하여야 하는데, 이번에는 이 라플라스전개방벙에 대해 알아보도록 하자. 식 (1)은 이전글인 행렬식의 계산에서 3계행렬식을 계산하는 식이다. 이 행렬식은 첫 번째 행의 원소들과 특정 2계행렬식의 곱으로 이루어져 있다는 것을 확인할 수 있다. 이렇듯 낮은 계의 행렬식을 전개하여 계산하는 방법이 라플라스 전개방법(Laplace expansion) 혹은 여인수 전개(Cofactor Expansion)이다. 첫 번째 항인 (1-a)의 행렬식은 행렬식┃A┃의 첫 번째 행과 첫 번째 ..
크래머 법칙(Cramer's rule) - 연립 일차 방정식 해를 구하는 공식 미지수가 적을 때는 각 방정식을 정리하여 대입하여 해를 구하는 방법을 선택할 수 있겠지만, 미지수가 많을 경우 이러한 방법을 사용하여 해를 구하는 방법은 조금 무리가 있을 것이다. 미지수가 여러개인 연립 일차 방정식들이 주어졌을 때, 크래머 법칙(Cramer's rule, 혹은 크라메르 법칙)을 사용하면 비교적 간단하게 미지수들의 해를 구할 수가 있다. (1)과 같은 식에서 A가 n×n인 정방행렬이며, 행렬식이 0이 아닌 비특이행렬이라고 하자. 이를 연립 방정식의 형태로 표현하자면 아래의 (2)와 같은 모양이 된다. 즉, (2)의 식을 행렬 A, B, x로 표현을 하면 (1)의 식과 같은 모양(b1, b2, ..., b3를 행렬B라 , a11, a12, ..., ann을 행렬A, x1, x2, ..., ..
행렬식의 계산 정방행렬 A의 행렬식(determinant)은 ┃A┃로 표시되고, 그 행렬과 관련되어 유일하게 정의되는 스칼라이다. 행렬식은 정방행렬에 대해서만 정의가 된다. 가장 작은 규모의 행렬인 1×1 행렬 A = [a]의 행렬식은 단일원소 a가 된다. 즉, ┃A┃=┃a┃=a가 된다는 것이다. 행렬식은 1×1 행렬식뿐만 아니라, 2×2 행렬식, 3×3 행렬식... n×n 행렬식 등 다야하게 있는데, 가장 먼저 단순한 형태인 2×2 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 알아보자. 2×2 행렬 A가 위와 같이 주어졌을 때, A의 행렬식은 아래와 같이 두 주대각원소의 곱에서 나머지 두 원소의 곱을 뺌으로써 구해질 수 있다. 행렬 A의 차원이 위와 같은 2×2 차원의 행렬이라면, 이 행렬식 ┃A┃를 2계행렬식(second-ord..
근의 공식과 유리근 정리 근의 공식 2차 방정식을 풀 때, 방정식의 두 근을 간단하게 찾는 방법으로 근의 공식(quadratic formula)이 있습니다. 위와 같은 2차방정식이 주어질 경우, 이 방정식의 두 근은 아래와 같습니다. b^2-4ac가 0보다 클 경우 두 근(x1*와 x2*)이 다르며, 0과 같을 경우에는 두 근이 -b/2a와 같게 되며, 0보다 작을 경우에는 음수의 제곱근을 구해야하는 문제가 발생하기에 실수체계에서는 해결가능하지 않습니다. 근의 공식은 완전제곱(completing the square)으로 알려진 과정에 의해서 유도되어집니다. 마지막으로 양변에서 b/2a를 빼게되면, 근의 공식을 얻을 수 있게 됩니다. 유리근 정리 2차방정식의 경우 근의 공식을 이용하여 비교적 쉽게 방정식의 근을 구할 수 있지만, ..
단리와 복리, 무엇이 다른가? 금리/이자는 이전에 설명해드린 거와 같이 돈을 빌려 사용한 대가입니다. 이러한 이자도 단리와 복리로 나뉘어져 구분되며, 이에 따른 이자수익 역시 달라지게 됩니다. 이번에는 단리와 복리의 개념과 계산하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 단리와 복리의 정의 단리는 원금에 대해서만 이자를 붙이는 방식으로 지급기한까지 이율에 변동이 없으면 원금은 물론 만기 시 이자수익은 달라지지 않습니다. 만기시 금액 = 원금*(1+이자율*기간) = 원금 + 원금*이자율*기간 복리는 원금에 대해서 뿐만 아니라 원금에서 생기는 이자에도 원금과 동일한 이율의 이자를 붙는 방식입니다. 만기시 금액 = 원금*(1+이자율)^기간 이해를 더욱 쉽게 하기 위해 예시를 들어보겠습니다. 100원을 이자율이 10%인 단리상품과 복리상품에 ..
르네상스 테크놀로지 르네상스 테크놀로지는 복잡한 수학적 기법을 활용하는 미국의 대표적인 헤지펀드사이다. 천재 수학자 출신의 제임스 사이먼스가 바로 이 펀드의 매니저인데, 30년간 연평균 수익률을 무려 36%나 기록을 하였다. 그렇다면 어떻게 이러한 수익을 낼 수 있었을까? 첫번째 성공전략은 독보적인 기술을 확보한 것이다. 금융 시장에 대규모 데이터를 다양한 수학적 기법으로 실시간으로 분석을 하였다. 장기 투자방식과는 달리 초 단위의 가치변화에 집중 투자를 한 것이다. 이러한 투자기법을 개발하기 위해 CEo 등 주요 임원들은 암호해독학 등을 전공한 수학자 출신이며, 대부분 임직원이 물리학, 컴퓨터공학 등을 전공한 이공계 출신이다. 현재 이들의 투자방식은 설립 후 현재까지도 철저히 비공개이다. 두번째 성공전략은 전통적인 금융사..