근의 공식과 유리근 정리

근의 공식

2차 방정식을 풀 때, 방정식의 두 근을 간단하게 찾는 방법으로 근의 공식(quadratic formula)이 있습니다.

위와 같은 2차방정식이 주어질 경우, 이 방정식의 두 근은 아래와 같습니다.

b^2-4ac가 0보다 클 경우 두 근(x1*와 x2*)이 다르며, 0과 같을 경우에는 두 근이 -b/2a와 같게 되며, 0보다 작을 경우에는 음수의 제곱근을 구해야하는 문제가 발생하기에 실수체계에서는 해결가능하지 않습니다.

근의 공식은 완전제곱(completing the square)으로 알려진 과정에 의해서 유도되어집니다.

마지막으로 양변에서 b/2a를 빼게되면, 근의 공식을 얻을 수 있게 됩니다.

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유리근 정리

2차방정식의 경우 근의 공식을 이용하여 비교적 쉽게 방정식의 근을 구할 수 있지만, 3차 혹은 4차 방정식의 경우에는 근을 구하기가 어렵습니다. 일일이 수를 하나씩 넣어보거나, 인수분해를 하는 등의 복잡한 과정을 거쳐야할 것입니다. 하지만 유리근 정리를 안다면 비교적 쉽게 고차방정식의 유리수근을 구할 수 가 있습니다.

방정식이 위와 같이 주어졌을 때, 방정식의 유리근은 lr/sl 중에 있습니다. r은 a0의 약수이며, s는 an의 약수입니다.

예시를 통해 유리근 정리를 활용해보겠습니다.

r/s의 집합에 있는 각 원소들을 차례로 대입해보았을 때, 위 방정식의 근은 -1, 2, 3이라는 것을 확인할 수 있습니다.

그리고 계수들(an,an-1,...,a1,a0)의 합이 0이 된다면 x=1은 방정식의 근이 됩니다.

유리근 정리의 증명은 아래와 같습니다.