일반시장균형 - 2상품시장모형(Two commodity market model)

모든 재화는 수 많은 보완재와 대체재를 갖는 것이 일반적이며, 그렇기때문에 한 상품의 수요함수와 공급함수는 그 상품 자체의 가격뿐만 아니라 관련된 상품들의 가격에 따라 영향을 받는다. 이번 글에서는 오직 2개만의 상품이 존재하는 모형에 대해 알아보고자 한다. 두 상품이 존재하는 시장이며, 수요와 공급함수는 간단하게 선형함수라고 사정하자.

그렇다면 이 시장에서 두 상품의 각각의 수요함수와 공급함수는 위와 같이 나타낼 수가 있다. 계수 a와 b는 첫 번째 상품과 관련있으며, 계수 c와 d는 두 번째 상품과 관련이 있다. 이 모형의 해를 구하기 위해서는 소거법을 이용해야한다. 수요함수와 공급하수가 같다는 모양으로 방정식을 나타내면 아래와 같이 나타나게 된다.

이렇게 각 상품의 균형조건식을 얻을 수가 있다. 그렇지만 이 식을 그대로 사용하기에는 파라미터가 12개나 있어 계산을 하기에 매우 번거롭다는 것이 문제이다. 그렇기에 12개의 파라미터를 간략화하여 조금 더 계산에 용이하도록 변경하도록 하자.

각각의 계수를 α와 β로 간략화시키면 아래와 같이 식이 간단하게 변한다.

이 방정식에 다시 소거법을 적용하면 쉽게 풀 수가 있다. 먼저 첫 번째 식(위쪽에 있는 α를 계수로 사용하는 식)을 P2에 대해 정리를 하면 아래와 같은 값을 구할 수가 있다.

이제 위와 같이 P2에 대해 정리한 식을 두 번째 식(아래쪽에 있는 β를 계수로 사용하는 식)에 대입하면 첫 번째 상품의 균형가격을 구할 수가 있다.

이러한 풀이가정을 통해 P1*를 구할 수 있다. 그리고 P1*를 이용하여 아래와 같이 P2*를 구할 수 있다.

이렇게 2개의 각각의 상품에 대한 균형가격(P1*, P2*)를 구하게 되었다. 그리고 이를 이용하면 역시 각각의 상품에 대한 균형수량 역시 구할 수 있게 된다. 그러나 이 두 값이 의미를 가지기 위해서는 두 가지의 제약조건이 충족되어져야한다. β2α1와 β1α2가 같으면 안된다는 것과 분모와 분자가 동일한 부호를 가져야한다(가격은 양수이기 때문)는 것이다.

이 식을 조금 더 쉽게 이해하기 위해 예문을 풀어보도록 하자.

예문

2개의 상품에 대한 각각의 수요함수과 공급함수가 위처럼 주어져 있다고 하자. 이 식을 이용해 직접 P1에 대한 식으로, P2에 대한 식으로 정리를 하여 대입을 함으로써 균형가격과 균형수량을 구할 수 있지만, 앞써 α와 β를 이용해 P1*와 P2*의 식을 구해놓았다. 이를 이용해 간편하게 균형가격과 균형수량을 구할 수 있다.

위와 같이 α0, α1, α2, β0, β1, β2에 대한 값을 쉽게 구할 수 있다. 이를 가지고 위에서 정리한 P1*와 P2*에 각각의 값을 대입하면 아래와 같은 균형가격을 쉽게 구할 수 있다.

그리고 구해진 각각의 균형가격 P1*와 P2*를 각 상품의 수요함수 또는 공급함수 중 한 함수에 대입을 하면 균형수량 Q1*와 Q2*를 구할 수 있다.