라플라스 전개방법(Laplace expansion) - 고계행렬식 계산법

이전에 2계행렬식과 3계행렬식의 계산 방법을 알아보았지만, 그 방법으로는 4계 이상의 행렬식에는 적용될 수가 없다. 그렇기 때문에 더 높은 차원의 행렬의 행렬식을 구하기 위해서는 라플라스 전개방법(Laplace expansion)을 이용하여야 하는데, 이번에는 이 라플라스전개방벙에 대해 알아보도록 하자.

식 (1)은 이전글인 행렬식의 계산에서 3계행렬식을 계산하는 식이다. 이 행렬식은 첫 번째 행의 원소들과 특정 2계행렬식의 곱으로 이루어져 있다는 것을 확인할 수 있다. 이렇듯 낮은 계의 행렬식을 전개하여 계산하는 방법이 라플라스 전개방법(Laplace expansion) 혹은 여인수 전개(Cofactor Expansion)이다. 첫 번째 항인 (1-a)의 행렬식은 행렬식┃A┃의 첫 번째 행과 첫 번째 열을 삭제함으로써 얻어지는 A의 부분행렬식이며, 이것을 원소 a11의 소행렬식(minor)이라 부르고 ┃M11┃로 표기한다. 일반적으로 기호 ┃Mij┃는 주어진 행렬식의 i번째 항과 j번째 열을 삭제함으로써 얻어지는 소행렬식을 의미하고, 소행렬식 역시 행렬식이기때문에 하나의 스칼라값을 가지게된다. 그렇기 때문에 식 (1)의 다른 두 2계행렬식이 각각 소행렬식 ┃M12┃, ┃M13┃임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, 아래의 (2)와 같이 되는 것이다.

또한, 소행렬식과 유사한 개념으로 여인자(cofactor)가 있고, ┃Cij┃로 표기된다. 여인자는 소행렬식에 지정된 대수부호를 붙인 것인데, 부호에 관한 법칙은 여인자┃Cij┃의 두 하첨자 i와 j의 합이 짝수라면 소행렬식과 같은 부호를 갖는다. 반대로 그 합이 홀수라면 여인자는 소행렬식과 반대의 부호를 갖는다.

즉 (3)과 같은 모양을 가지게 된다.

이러한 개념을 이용하면 식 (1)은 식(4)와 같이 표시할 수가 있다. 이러한 라플라스 전개는 3계행렬식의 값을 계산하는 복잡한 문제를 단순하게 2계행렬식의 값을 구하는 문제로 바꾸게한다. 이러한 라플라스 전개방법을 이용하면 n계행렬식의 값을 구하는 복잡한 문제를 n개의 (n-1)계여인자를 계산하는 문제로 단순하게 만들수 있고, 이를 반복적으로 사용하여 점점 더 낮은 계의 행렬식으로 바꾸어 마지막에는 간단한 2계행렬식을 계산하는 문제로 바꿀 수 있게 된다.

특히, 라플라스전개방법은 첫 번째 행만을 사용하는 것이 아니라, 임의의 행 또는 열을 사용하여 전개할 수가 있다. 즉 첫 번재 열을 선택하거나, 두 번째 행을 선택하거나, 세 번째 열을 선택해도 무방하다는 것이다. 따라서 행렬식을 계산할 때에는 조금이라도 더 0과 1이 많이 포함된 행 또는 열을 선택하는 것이 계산을 조금 더 쉽게 만들어 줄 것이다.

따라서 요약하면, n계행렬식┃A┃의 값은 (5)와 같은 라플라스 전개에 의해서 구할 수 있다.

이제 4계행렬식을 구하는 예제를 통해 라플라스전개방법을 조금 더 쉽게 알아보자.

(6)에서 주어진 행렬B의 행렬식을 구해보도록 하자. 계산을 쉽게 하기위해 0을 조금 더 많이 가지고 있는 4번째 행을 가지고 계산을 하도록 하겠다.

그러면 이렇게 정리가 가능한데, 첫 번째 항의 b41과 두 번째 항의 b43은 모두 0이기 때문에 각 항의 행렬식을 굳이 계산하지 않아도 된다. 그리고 b42와 b44의 하첨자의 합이 짝수이기때문에 각 여인자는 소행렬식과 같은 부호를 가지게 된다. 그리고 이때 여인자는 3계행렬식(C와 D)이 되기때문에 이를 2계행렬식을 구하기 위해 3계여인자의 2계여인자를 다시 한 번 구해주도록 한다.

그러면 이렇게 정리가 가능하다. 여기서도 c12와 d13은 0이기때문에 계산할 필요가 없다. 이렇게 구해진 2계여인자를 계산해주면 최종적으로 (-5)(-4-36)+(8)(-24+8)이라는 값들이 나오게 되고 이를 계산해주면 행렬식B의 값은 72가 된다는 것을 알 수 있다.