행렬식의 계산

정방행렬 A의 행렬식(determinant)은 ┃A┃로 표시되고, 그 행렬과 관련되어 유일하게 정의되는 스칼라이다. 행렬식은 정방행렬에 대해서만 정의가 된다. 가장 작은 규모의 행렬인 1×1 행렬 A = [a]의 행렬식은 단일원소 a가 된다. 즉, ┃A┃=┃a┃=a가 된다는 것이다.

행렬식은 1×1 행렬식뿐만 아니라, 2×2 행렬식, 3×3 행렬식... n×n 행렬식 등 다야하게 있는데, 가장 먼저 단순한 형태인 2×2 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 알아보자.

2×2 행렬 A가 위와 같이 주어졌을 때, A의 행렬식은 아래와 같이 두 주대각원소의 곱에서 나머지 두 원소의 곱을 뺌으로써 구해질 수 있다.

행렬 A의 차원이 위와 같은 2×2 차원의 행렬이라면, 이 행렬식 ┃A┃를 2계행렬식(second-order determinant)라고 부른다. 더 쉽고 빠른 이해를 위해 원소들이 숫자로 주어진 행렬식을 풀어보도록 해보자.

만약 선형종속인 행을 가지는 행렬이 있다면, 그 행렬의 행렬식은 0이 된다. 그렇기때문에 행렬식의 값은 행렬의 행들의 선형독립성, 즉 비특이성을 검증하는 기준이 될 뿐만 아니라, 역행렬이 존재하는 경우에은 그 역행렬의 계산에도 이용이 된다.

다음으로 더 나아가 3계행렬식을 계산하는 방법을 알아보자. 3X3 행렬 D가 아래와 같이 주어져있다고 하자.

이 3계행렬식을 구하는 것 역시 2계행렬식을 구하는 방법과 유사하게 대각선으로 원소들을 곱한 값들을 더하고 뺌으로써 구할 수가 있다.

위 식을 조금 더 이해하기 쉽게 하기 위해서는 하나의 그림을 이해하면 된다.

바로 위의 그림을 이해만 한다면 3계행렬식을 구하는 방법은 그렇게 어렵지 않을 것이다. 하지만 이렇게 대각선을 곱하여 행렬식을 계산하는 방법은 아쉽게도 4계 이상의 행렬식에는 적용될 수가 없다. 그렇기 때문에 더 높은 차원의 행렬의 행렬식을 구하기 위해서는 라플라스 전개방법(Laplace expansion)을 이용하여 구해야하는데, 이는 다음에 알아보도록 하자.