국민소득모형에서의 균형

간단하게 국민소득, 소비지출, 조세의 함수가 주어진 케인즈 국민소득모형에서 균형은 어떻게 구할 수 있을까?

이 모형에서 Y, C, T가 내생변수로, I(투자)와 G(정부지출)는 외생변수라고 가정해보겠다. 첫번째 함수인 국민소득 함수 Y는 균형조건식이며, 소비지출 함수 C와 조세 함수 T는 각각 행태식이다. 소비지출 함수 C의 파라미터인 a는 기초소비를, b는 한계소비성향을 나타내며, 조세 함수 T의 파라미터 d는 정액세, t는 세율(tY는 누진세)을 나타낸다.
3개의 방정식은 서로 함수적으로 독립이고 모순되지 않는다면, 균형값 Y*, C*, T*는 파라미터들과 외생변수로 나타낼 수가 있다. 그러기 위해 먼저 함수 Y에 함수 C를 대입하면, 아래와 같은 하나의 변수 Y를 갖는 단일방정식으로 만들 수가 있다.

Y*를 구하기 위해 우변에 있는 Y값들을 좌변으로 이동시켜주고, 정리된 Y의 계수를 다시 우변으로 옮겨주면 아래와 같이 Y*를 구할 수 있게 된다.

이 해값은 전적으로 모형에서 주어진 파라미터들과 외생변수들로 표시되어있다. 이제 구해진 이 Y*를 함수 C와 함수 T에 대입하면 C*와 T* 역시 구할 수 있게된다.

먼저, Y*를 함수 T에 대입을 하면, 위와 같이 파라미터들과 외생변수로만 구성된 T*를 구할 수 있다. 이 T*도 함께 사용하면, 마지막으로 남은 C* 역시 구할 수 있게된다.

이렇게 함수 C에 Y*와 T*를 대입하여 정리를 하면, C*를 구할 수 있게 된다.
여기서 Y*, C*, T* 모두 분모가 '1-b(1-t)'로 이루어져있기 때문에, 당연히 b≠0, t≠1이라는 제약조건이 필요하게 된다. 하지만 이미 b는 0보다 크고 1보다 작고 t 역시 0보다 크고 1보다 작다는 가정이 있으므로, 자동적으로 이 제약조건은 충족된다.
그리고 일반적으로 국민소득과 소비, 조세는 양수로 나타나기 때문에 3개의 분자 모두 양이 되어야한다. 이미 파라미터 a, b, d, t 모두 양수로 주어졌으며, I0, G0 두 외생변수 모두 일반적으로 양수이기때문에, 분자의 부호 역시 세 개 식 모두 문제가 없게된다.